ANALYSIS OF THE IMPACT OF MEASUREMENT ERRORS ON THE ACCURACY OF SAMPLE MEASUREMENT RESULTS

Full Text

Введение. При массовом выпуске серийной продукции нередко применяют выборочный измерительный контроль качества готовых изделий, используемый для снижения затрат или при невозможности сплошного контроля, например, из-за повреждения подвергаемых контролю изделий.

В практике выборочного контроля часто применяется следующая методика. Если в исследуемой партии количество забракованных экземпляров не превышает предельного значения, то партия считается соответствующей требованиям заказчика, следовательно выполняется допустимый риск заказчика . Если в выборке число забракованных изделий оказывается выше установленного браковочного числа, партия признаётся несоответствующей и подлежит отклонению. В случае, если количество дефектных изделий находится между приемочным и браковочным числами, схема контроля может предусматривать дополнительные действия — например, увеличение объёма выборки, проведение повторного отбора и повторного контроля и др. Такие элементы, как объём выборки, пороговые значения браковки и приёмки, а также последовательность действий при различных результатах контроля, формируют структуру статистического плана контроля качества [1–6]. Этот подход, базирующийся на методах математической статистики, формально не учитывает возможность ошибок при оценке пригодности изделий, предполагая точность измерений. Однако на практике измерения, выполняемые в процессе контроля, сопровождаются погрешностями, что может привести к ошибкам первого рода (отбраковка годного изделия) и второго рода (принятие бракованного изделия) [7]. В результате число изделий, признанных дефектными на основе измерений, не совпадает с реальным числом негодных, так же, как и количество принятых изделий может не отражать фактическое число соответствующих требованиям. Это ставит под сомнение корректность применения существующих стандартов [2, 3] в ситуациях, где влияние измерительных погрешностей существенно, особенно в условиях многопараметрического контроля.

Итоги исследований влияния погрешности измерений на достоверность результатов. Результаты были получены для простой схемы выборочного контроля, при которой контролю подвергается случайная выборка изделий (из большой партии) и потребителю поступают как признанные годными изделия из выборки, так и не подвергающиеся контролю изделия.

Достоверность результатов контроля оценивалась через риски, присущие как заказчику ( ), так и производителю ( ). В данном контексте риск заказчика  представляет собой среднюю долю дефектных изделий, ошибочно признанных годными и переданных потребителю. В свою очередь, риск производителя  отражает ожидаемую долю качественных изделий, ошибочно отбраковываемых в процессе контроля [7]. Был проведён анализ ситуации, в которой качество изделия описывалось с помощью 30 ( ) независимых параметров , каждый из которых подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием, совпадающим с его номинальным значением , и стандартным отклонением . Значения параметров каждого изделия должны укладываться в допустимый диапазон  для всех i от 1 до 30. При этом вероятность выхода одного параметра за установленные пределы допусков составляла 0,27%. Для изделия в целом (при 30 подлежащих контролю независимых параметрах) вероятность негодности, хотя бы по одному параметру, составляло 7,795 [7].

Решение задачи методом имитационного моделирования. Чтобы решить поставленную задачу методом имитационного моделирования, необходимо принять стохастическую модель погрешности измерений контролируемых параметров. Считают, что погрешность измерений каждого параметра - случайная величина с СКО . Обычно полагают, что распределения погрешности измерений одномодальное и симметричное. Если отсутствуют дополнительная информация, то при моделировании контроля естественно использовать распределение, при котором риски  и  максимальны.

В таблице 1 представлены результаты оценки рисков со стороны потребителя и изготовителя, полученные для разных объемов проверяемой выборки, где НР – нормальное распределение; РР – равномерное распределение; ТР – треугольное распределение. Расчеты были выполнены для объема партии изделий  10⁶. Для простоты было принято, что , , а  (для ).

Анализ, представленных в табл. 1 результатов, показывает, что наибольшие значения риска заказчика получены при равномерном распределении случайной погрешности измерений, также как и наибольшие значения риска производителя (если ). Полученные результаты позволяют заключить следующее: при недостаточности исходных данных для построения достоверной модели погрешностей измерений, в качестве аппроксимации рационально использовать равномерно распределённую случайную величину.

Моделирование процедуры контроля на компьютере позволило исследовать зависимость искомых рисков от СКО нормального распределенной погрешности измерений.

На рис. 1 приведены зависимости  при объемах выборки, составляющих 100% (сплошной контроль) и 50% объема партии.

Результаты получены для двух СКО параметров:  и . СКО измерений  нормировано относительно СКО контролируемых параметров . Искомые графики получены при значениях СКО погрешности измерений, равных 0; 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4.

При отсутствии контроля («нулевом» объеме контролируемой выборки) было получено: если , то значение = 7,78%, а если , то = 2,56%, что соответствует средним долям негодных изделий в партии. При стопроцентной выборке и отсутствии измерительной погрешности (то есть при нулевом значении ошибки), все изделия, признанные годными в процессе контроля, действительно соответствуют требованиям, и риск заказчика  равен нулю.

 

Таблица 1. Оценки рисков заказчика и производителей

	Выборка, %	Риски заказчика  для распределения			Риски производителя  для распределения
		НР	РР	ТР	НР	РР	ТР
0,1	0 20 40 60 80 100	7,78 6,49 5,15 3,78 2,38 0,89	7,74 6,46 5,19 3,87 2,45 0,97	7,79 6,48 5,14 3,80 2,39 0,91	0 0,25 0,47 0,73 0,94 1,19	0 0,26 0,51 0,76 1,02 1,28	0 0,23 0,48 0,730,96 1,22
0,2	20 40 60 80 100	6,64 5,48 4,13 2,85 1,51	6,64 5,46 4,26 2,99 1,64	6,64 5,38 4,17 2,90 1,54	0,59 1,17 1,75 2,33 2,89	0,61 1,21 1,83 2,44 3,03	0,59 1,18 1,77 2,33 2,92
0,3	20 40 60 80 100	6,79 5,64 4,49 3,23 1,94	6,78 5,71 4,59 3,40 2,13	6,74 5,66 4,48 3,29 1,98	1,08 2,14 3,25 4,35 5,39	1,09 2,14 3,21 4,33 5,40	1,09 2,15 3,24 4,29 5,38
0,4	20 40 60 80 100	6,81 5,81 4,73 3,50 2,28	6,88 5,84 4,84 3,68 2,49	6,81 5,80 4,71 3,52 2,33	1,79 3,59 5,39 7,18 9,02	1,74 3,48 5,17 6,97 8,65	1,77 3,53 5,28 7,00 8,82

 

 

Рис. 1. Зависимость  от СКО погрешности измерений при  и 0,9

 

Однако с увеличением среднеквадратического отклонения погрешности измерений возрастает вероятность недообнаружения дефектных изделий, что, в свою очередь, приводит к увеличению риска заказчика.

Используя результаты, аналогичные приведенным на рис. 1, можно найти значение СКО погрешности измерений и объем контролируемой выборки, которые обеспечат требуемое допустимое значение  (при известном значении СКО параметров). Эти результаты также позволяют сделать вывод, что наиболее эффективным способом снижения риска заказчика является снижение СКО контролируемых параметров изделий, то есть совершенствование технологии производства.

Если объем контролируемой выборки значительно меньше 100%, то при выборочном контроле по описанной схеме даже при отсутствии погрешности измерений (при )  риск заказчика может быть существенным. Этот риск обратно пропорционален объему контролируемой выборки (при  может достигать, как отмечено выше 7,79%). Зависимость , для различных объемов выборки, приведена на рис. 2.

 

 

Рис. 2. Зависимость  погрешности измерений

 

Если погрешность измерений равна нулю, то  независимо от объема контролируемой выборки, так как ни одно изделие не будет ошибочно забраковано. Из рис. 2 можно оценить собственные потери производителя из-за ошибок контроля первого рода (при известной погрешности измерений и объеме контролируемой выборки). Отметим, что объем контролируемой выборки при моделировании можно принять любым в интервале 0 – 100%.

Если необходимо обеспечить заданное значение , а улучшить технологию производства и повысить точность измерений при контроле технически невозможно (или экономически нецелесообразно), то имеется следующий выход. Можно принять более жесткий контрольный допуск  (k – коэффициент корреляции допуска, k < 1) [5]. Если изделия будут браковаться при превышении любым контролируемым параметром значения , то риск заказчика снизится (но, очевидно, значительно возрастет риск производителя).

На рис. 3 и 4 представлены зависимости, аналогичные приведенным в [7], но полученные при  2,7, то есть k = 0,9. Пусть  1%, , . Из рис. 3 и 4 следует, что значение  1% при объеме контролируемой выборки более 92 % всей партии. При объеме выборки 100% %, но при этом  возрастает до 13-14%. При  уже при объеме контролируемой выборки около 90% всей партии %, а  при этом составляет 10,6%.

Таким образом, при фиксированном значении среднего квадратичного отклонения измерений можно, изменяя коэффициент k и размер контрольной выборки, достичь заданного уровня риска заказчика и допустимого уровня риска для производителя.

 

 

Рис. 3. Зависимость  от объема выборки и СКО погрешности ( )

 

 

Рис. 4. Зависимости  от объема выборки и СКО погрешности ( )

 

Имитационные модели представляется возможным использовать и при планировании более сложных схем выборочного контроля.

Заключение. Таким образом, рассмотренные и проанализированные имитационные модели измерительного многопараметрического контроля позволяют исследовать влияние погрешности измерений на достоверность результатов выборочного контроля и разрабатывать эффективные планы контроля. Для оптимизации затрат, связанных с организацией и проведением выборочного контроля партии изделий, целесообразно разработать экономико-математическую модель, позволяющую это реализовать.

About the authors

Eugene Kimovich Samarov

SMTU

Author for correspondence.
Email: omega511@mail.ru

Dean of the Faculty of Natural Sciences

Russian Federation

Yana Yuryevna Ionchenkova

SMTU

Email: ionchenkova_yana@mail.ru

Senior Lecturer at the Department of Mathematics

Russian Federation

References

Supplementary files